Olivier Debarre's Algèbre 2 [Lecture notes] PDF

By Olivier Debarre

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On a Card(Gal(L/K)) [L : K]s [L : K]. La première inégalité est une égalité si et seulement si l’extension K → L est normale ; la seconde est une égalité si et seulement si l’extension K → L est séparable. Démonstration. — Soit Ω une extension algébriquement close de K. Le groupe Gal(L/K) agit à droite sur l’ensemble des K-morphismes σ : L → Ω (dont le cardinal est par définition [L : K]s ) par la formule ∀g ∈ Gal(L/K) σ · g = σ ◦ g. Cette action est libre (si σ ◦ g = σ, on a g = Id puisque σ est injectif), d’où la première inégalité.

8. 5) une situation dans laquelle le lemme s’applique : si p est un nombre premier, q = pn et K = Fp , le corps de décomposition du polynôme séparable X q−1 − 1 est Fq . On a vu que le groupe de Galois de l’extension galoisienne Fp → Fq est cyclique d’ordre n. La proposition dit que c’est un sous-groupe de (Z/(q − 1)Z)∗ , qui en est en général distinct. Soit K un corps, soit n un entier non divisible par la caractéristique de K et soit K → L un corps de décomposition de X n − 1. La démonstration de la proposition montre que le polynôme séparable ΦK n (X) = (X − ζ) ζ racine primitive n-ième de 1 dans L est de degré ϕ(n) et invariant sous l’action de Gal(L/K), donc à coefficients dans K par le lemme d’Artin (th.

4. Théorème de l’élément primitif. — On a rencontré à plusieurs reprises l’extension Q ⊆ Q( 3 2, j). Peut-on engendrer cette extension par un seul élément (on dit que l’extension est simple) ? La réponse est √ √ 3 3 oui : on a Q( 2, j) = Q( 2 + j) (cf. exerc. 19). En revanche, en caractéristique non nulle, il existe des extensions finies non simples. Il se trouve que cette propriété d’une extension finie (d’être engendrée par un élément) est liée à sa séparabilité. 22. — Soit p un nombre premier.

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