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By Claus Scheiderer

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Nun sei L/K eine beliebige algebraische Erweiterung. Um das Zornsche Lemma anzuwenden, betrachten wir die Menge n o X := (E, φ) : E ist Zwischenk¨ orper von L/K, φ ∈ Hom(E, Ω), φ|K = ϕ aller ‘partiellen Fortsetzungen’ von ϕ. Durch (E, φ) ≤ (E , φ ) :⇔ E ⊂ E ∧ φ |E = φ wird X zu einer (partiell)Sgeordneten S Menge. Jede Kette (Eλ , φλ )λ in X hat eine obere Schranke in X, n¨ amlich ( λ Eλ , λ φλ ). 9) gibt es also4 ein maximales Element (E, φ) in X. W¨ are E = L, so g¨ abe es ein Element α ∈ L E, und man k¨ onnte φ nach dem 1.

I ) (i = 0, . . , r). Wir haben also die Kette K = K0 ⊂ K1 ⊂ · · · ⊂ Kr = L, und jeder Schritt ist eine einfache K¨ orpererweiterung: Ki = Ki−1 (αi ). 2 ist [Ki : Ki−1 ]s ≤ [Ki : Ki−1 ] (i = 1, . . , r). 4), folgt [L : K]s ≤ [L : K]. Ist [L : K]s = [L : K], so gilt nach der schon gezeigten Ungleichung, und wegen der Multiplikativit¨ at, auch [F : K]s = [F : K] f¨ ur jeden Zwischenk¨ orper F von L/K. 23, daß α separabel u ¨ber K ist. Dies f¨ ur jedes α ∈ L zeigt, daß die Erweiterung L/K separabel ist.

Jede endliche separable K¨ orpererweiterung hat ein primitives Element. Insbesondere hat jede endliche Erweiterung eines vollkommenen K¨ orpers ein primitives Element. Beweis des Theorems. 16), und es gen¨ ugt, einen Erzeuger dieser Gruppe zu nehmen. Wir k¨ onnen also |K| = ∞ annehmen. Per Induktion gen¨ ugt es, den Satz f¨ ur n = 2 zu beweisen. Sei also L = K(α, β), und sei α separabel u ¨ber K. Sei f = MinPol(α/K) und g = MinPol(β/K). Wir versuchen, ein c ∈ K so zu finden, daß γ := β + cα ein primitives Element von L/K ist.

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by George
4.2

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